수학의 즐거움) 현대수학학 개론

집합론

열이 어떻게 전달되는지 알지 못했던 18세기, 조제프 푸리에는 열방정식을 무한급수의 형태로 수학적으로 표현하는데 성공한다. 하지만 당시에 무한에 대한 개념이 없었기 때문에 이가 수학적으로 타당한지 알 수가 없었다. Modern Mathmathics 는 이를 이해하기 위해 칸토어가 집합론을 창시하면서 시작된다.

• 우리가 수능 때 공부한 수학은 18세기 이전 나폴레옹 시기 이전의 수학적 내용이고 현대 수학과는 동떨어져 있다.

자연수의 집합 \(\mathbb{N}\), 정수의 집합 \(\mathbb{Z}\), 유리수의 집합 \(\mathbb{Q}\), 실수의 집합 \(\mathbb{R}\) 이 있을 때 \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) 가 성립한다. 그러면 집합의 크기 역시 비슷하게 대소관계가 성립할까?

• \(\mathbb{N}\) 와 \(\mathbb{Z}\) 를 일대일 시킬 수 있다. \(\mathbb{N}\) 의 원소 \(n\) 이 짝수이면 \(n/2\) 홀수이면 \(-n/2-1\) 라고 하자. 그러면 \(\mathbb{N}\) 의 임의의 원소 하나를 꺼냈을 때 \(\mathbb{Z}\) 의 유일한 원소와 대응되고 역 또한 같다. 즉 두 집합은 일대일 대응이므로 크기가 같다.
• \(\mathbb{Z}\) 와 \(\mathbb{Q}\) 역시 비슷하게 일대일 시킬 수 있다. 분모와 분자를 이차원 테이블로 만들면 분모와 분자의 합이 같은 원소는 합에서 하나를 뺀 갯수만큼 있다. 이에 응용해 군수열을 만들고 중복되는 경우를 적절히 제거하면 자연수와 일대일 시킬 수 있다.
• \(\mathbb{N}\) 과 \(\mathbb{R}\) 은 Cantor’s Diagonal Method 으로 일대일 대응이 아님을 알 수 있다.

즉 무한집합에도 크기가 존재하게 된다. 이를 Cardinal Number 라고 부른다.

• 그러면 \(\mathbb{N}\) 의 크기보다 크고 \(\mathbb{R}\) 의 크기보다 작은 무한집합이 존재하는가? 이는 연속체 가설이라는 이름으로 알려져있는데 ZFC 공리계에서 이는 참인지도 거짓인지도 알 수 없다. 1940년에 괴델에 의해 반증 불가능성을 보여졌고, 1963년 폴 코헨에 의해 증명 불가능이 보여졌기 때문이다.

이발사의 역설, “자신의 수염을 스스로 자르지 않는 사람들에게만 수염을 잘라주는 이발사는, 본인의 수염을 자를 것인가?” 집합을 단순히 원소를 모은 것으로 여기면 모순이 발생하게 된다.

공리

이처럼 수학적인 주장이 참과 거짓만을 다룬다는 기존의 통념에서 벗어나는 일이 알려짐에 따라 수학의 기초를 더욱 탄탄하게 할 필요가 생겼다. 이는 Axiom 을 통해서 얻고자 했고 적절한 Axiom 의 선택이 필요해졌다.

대표적인 예로 유클리드/비유클리드 기하학의 공리가 있다.

• 실제로 아이슈타인의 상대성이론이나 베이지안 통계학, 정보이론 등의 다양한 분야에서 비유클리드 기하학이 적용된다.

참고자료

수학의 즐거움