Interpolation

Lerp

Slerp

\[r = \frac{\sin{(\theta(1-t))}}{\sin{\theta}}P_1 + \frac{\sin{(\theta t)}}{\sin{\theta}}P_2\]

spherical linear interpolation 의 약자로 회전에서 사용된다.

이때 \(P_1\) 과 \(P_2\) 은 원점을 중심으로 하는 구에 대해서 보간됨에 주의하자.

수식을 보면 알겠지만 \(\sin{theta} = 0\) 에선 정의되지 않는다. 구 위에서 극점 간의 최단거리를 만드는 곡선이 무한하다는 것을 생각하면 당연한 결과이다.

증명

기하를 이용한 증명

위 식은 삼각형에 평행사변형을 그려보면 쉽게 유도할 수 있다.

참고그림

위 그림에서 주황선을 \(P_1\), \(P_2\) 라고 하자. 그러면 우리가 원하는 좌표는 \(r = n P_1 + m P_2\) 가 된다. 즉 \(n\), \(m\) 이라는 가중치를 조정하므로써 보간이 수행되는 것이다. 이러한 가중치는 \(r\) 에서 \(P_1\) 그리고 \(P_2\) 으로 수직으로 그은 선에 대한 길이를 구하는 두 식에 의해서 쉽게 도출된다.

예를들어 \(r\) 에서 \(P_1\) 로 수직으로 그은 선인 \(h\) 를 구해보자. \(h = m\sin{\theta}\) 이고 \(h = \sin{(\theta t)}\) 이다. 이를 항등식으로 엮어서 \(m\) 만 한쪽으로 빼내면 \(m\) 이 \(\theta\) 와 \(t\) 로 환원된다.

대수적 증명

위 식을 \(r = c_1(t) P_1 + c_2(t) P_2\) 로 표현하자. 이때 \(c_1(), c_2()\) 는 0~1 사이의 값을 받아서 0~1 사이의 값으로 연속적으로 매핑해주는 함수이다.

\(P_1\) 과 \(P_2\) 사이의 각도가 \(\theta\) 라고 하자. 우리는 Slerp 를 원하므로 \(P_1\) 과 \(r\) 간의 각도는 \(t\theta\) 가 되고, \(r\) 과 \(P_2\) 사이의 각도는 \((1-t)\theta\) 가 된다. 이러한 각도를 내적을 통해 다음과 같은 관계식을 세울 수 있다.

\[\cos{t\theta} = P_1 \cdot r = c_1(t) + c_2(t) \cos{\theta}\] \[\cos{(1-t)\theta} = r \cdot P_2 = c_1(t)\cos{\theta} + c_2(t)\]

위 식을 연립해서 \(c_2()\) 를 구하면 다음과 같다.

\[c_2(t) = \frac{\cos{(1-t)\theta} - \cos{t\theta}\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} = \frac{\sin{\theta} \sin{t\theta} + \cos{t\theta}\cos{\theta} - \cos{t\theta}\cos{\theta}} {\sin^2{\theta}}\]

정리하면 위 공식의 부분을 구할 수 있고 \(c_1(t)\) 도 마찬가지로 하면 된다.

Quaternion 의 Slerp

참고 자료

Quaternion 간의 내적 을 사용해서 \(\theta\) 를 간단히 얻어낼 수 있다. 이를 이용해 위 공식에 그대로 적용하면 된다.

Shortest Path

이때 Sphere 의 특성 상 경로가 \(\theta\) 와 \(2\pi -\theta\) 로 두 파트로 쪼개지는데 \((q)v(\hat{q}) = (-q)v(-\hat{q})\) 인 점을 이용하면 항상 짧은 길로 갈 수 있다. \(\cos{\theta} < 0\) 일 때 각도를 negation 해주고, \(P_2\) 에 해당하는 쿼터니언도 negation 시켜주면 된다. 예시 링크

Versor 형식

쿼터니온의 Slerp 에서는 \(q_1({q_1^{-1} q_2})^t\) 로도 나타낼 수 있다. 직관적으론 이 식이 Slerp 하지 않을까 생각할 수 있겠다. 하지만 증명에 관해선, 직접 수식을 풀어서 Slerp 공식과 대조하는 방법 밖에 모르겠다. 직접 해보니 들어맞기는 하던데…

노가다 증명의 일부

\[\begin{multline} q_1^{-1}q_2 \\ \shoveleft = (\cos{a}\cos{b} + \sin{a} \sin{b} (v_1 \cdot v_2), (\cos{a}\sin{b}) v_2 - (\cos{b}\sin{a}) v_1 - \sin{a}\sin{b}(v_1 \times v_2)) \\ \shoveleft = \cos{\theta} + (\sin{\theta})v_3 \\ \\ \shoveleft q_1({q_1^{-1} q_2})^t \\ \shoveleft = (\cos{t\theta}\cos{a} - \sin{t\theta}\sin{a} (v_1 \cdot v_3), (\cos{t\theta} \sin{a}) v_1 + (\sin{t\theta}\cos{a})v_3 + \sin{t\theta}\sin{a}(v_1 \times v_3)) \\ \\ \shoveleft v_3 = \cfrac{ (\cos{a}\sin{b}) v_2 - (\cos{b}\sin{a}) v_1 - \sin{a}\sin{b}(v_1 \times v_2)} {\sin{\theta}} \end{multline}\]

위처럼 풀어쓴 뒤 \(v_3\) 을 없애면 된다. 외적이 들어간 항은 \(a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c\) 를 이용하면 남은건 상쇄된다.

Hermite Interpolation

에르미트 보간법 은 뉴턴 보간법 에서 한단계 나아간 기법으로 더 부드러운 곡선을 만든다.

T smoothstep(T s, T e, T x)
{
    T t = clamp((x - s) / (e - s), 0.0, 1.0);
    return t * t * (3.0 - 2.0 * t);
}

그래픽스에서는 smoothstep() 같이 \(f(0)=0, f(1)=1, f'(0) = 0, f'(1) = 0\) 인 에르미트 다항식을 만든다. 위키에서 제시하는 방법을 그대로 따라해보면 위 코드와 똑같은 다항식을 만들 수 있다.

직접해보기

z_0 = 0, f[z_0] = 0
                    f[z_1, z_0] = f'(0) = 0
z_1 = 0, f[z_1] = 0                          f[z_2, z_1, z_0] = 1
                    f[z_2, z_0] = 1                                 f[z_3, z_2, z_1, z_0] = -2
z_2 = 1, f[z_2] = 1                          f[z_3, z_2, z_1] = -1
                    f[z_3, z_2] = f'(1) = 0
z_3 = 1, f[z_3] = 1

h(x) = 0 + 0(x-0) + 1(x-0)(x-0) + -2(x-0)(x-0)(x-1) 
     = -2x^3 + 3x^2

Matrix 의 보간

SO

SRT 분해를 해서 따로따로 처리하지 않으면 삐뚫어지고 스케일이 이상해진다.