Logistic Function

배경

Malthus 의 An Essay on the Principle of Population(인구론) 을 대표로하는 인구학에서 가장 먼저 사용된 함수이다.

그 때는 자원의 유한성으로 인해 인구는 기하급수적으로 증가하다가 인구 수가 어떤 경계에 다가갈수록 점점 증가폭이 줄어들다가 더이상 증가하지 않을 것이라고 생각했다. 이는 틀린 것으로 드러났지만 이를 모델링하는 함수는 지금도 많은 곳에서 사용된다.

Logistic Function

P.F. Verhulst 가 모델링한 Logistic-Functionn 은 Differential Equations 에서 도출할 수 있다.

인구수를 \(N\) 이라고 하고 최대인구를 \(K\) 라고 하면 \(\cfrac{dN}{dt} = rN(1-N/K)\) 로 모델링 할 수 있다.

이는 Separatable Equation 이므로 \(rN(1-N/K)dN = dt\) 라고 쓸 수 있고 아래처럼 풀 수 있다.

\[\begin{gather} \int{\cfrac{1}{rN(1-N/K)}dN} = \int{\cfrac{1}{N} \cfrac{1}{K-N}dN} = \int{r dt} \\ \ln{\cfrac{N}{K-N}} = rt + C_1 \\ \cfrac{N}{K-N} = C_2e^{rt} \quad \cfrac{K-N}{N} = C_2e^{-rt} \\ N = \cfrac{K}{C_2e^{-rt} + 1} = \cfrac{N_0K}{(K-N_0)e^{-rt} + N_0} \\ \end{gather}\]

\(K=1,\ N_0 = 1/2\) 로 두면 우리가 잘 아는 \(y = \cfrac{1}{1+e^{-x}}\) 가 된다.

참고자료

Khan Academy