Quaternion 개념

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Complex Number

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복소수의 성질

복소수의 덧셈과 뻴셈 은 벡터의 계산과 같음(벡터가 여기서 온 것)

복소수의 곱셈과 나눗셈 은 극좌표를 통해서 이해할 수 있음

복소수 \(x = a + ib\) 가 있을 때
절댓값 \(r\) 과 편각 \(\theta\) 을 통해 나타내면 \(x = r(\cos\theta + i\sin\theta )\)
r 은 따로 빠지기 때문에 1로 둬도 상관이 없음.
두 수의 곱을 한다면

\(\begin{multline} a = \cos\alpha + i\sin\alpha, \quad b = \cos\beta + i\sin\beta \\ \\ \shoveleft a \times b = (\cos\alpha + i\sin\alpha) \times (\cos\beta + i\sin\beta) \\ \shoveleft = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \\ \shoveleft = \cos(\alpha + \beta) + i(sin(\alpha + \beta)) \\ \\ \shoveleft \frac{a}{b} = \frac{ \cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\beta + i\sin\beta } = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta - i\sin\beta) \\ \shoveleft = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta + i(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) \\ \shoveleft = \cos(\alpha - \beta) + i(sin(\alpha - \beta)) \\ \\ \shoveleft \end{multline}\)
- 삼각함수의 덧셈공식을 사용하면 간단하게 정리할 수 있음.
- 복소수의 곱과 나눗셈은 편각의 합이 됨을 알 수 있음. => 회전

이러한 복소수는 실수계의 행렬로 나타낼 수 있음.

복소수의 곱을 펼쳐서 \(i\) 의 제곱만 -1 로 뺀 뒤 행렬로 빼면 됨
그러면 잘알려진 2D 의 회전행렬이 나옴

\(\begin{multline} x = a + ib = \cos\theta + isin\theta \\ \shoveleft = \left[\begin{array}{cc} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{array}\right] \\ \shoveleft = \left[\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \\ \end{array}\right] \end{multline}\)

복소수와 Euler’s Formula

Euler’s formula 에 따라 Complex Exponential 로도 회전표현 이 됨.

\(e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}\) 이므로
\(\theta\) 만큼 \(v\) 를 회전시킨다면 \(v' = e^{\theta i} v\) 가 됨

Triple

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3개의 수로 만든 Triple 은 곱셈에서 그 크기가 유지되기를 창시자 해밀턴은 원했음

즉, 임의의 Triple \((a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2, c_2)\) 에 대해
\(\begin{align} & (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2)(a_2^2 + b_2^2 + c_2^2) = (a_3^2 + b_3^2 + c_3^2) \end{align}\) 를 만족하는 \((a_3, b_3, c_3)\) 을 찾기를 바랬음
그런데 자리를 하나 더 추가하면 가능 하다는 것을 발견함 \(\begin{align}&(a_1a_2 - (b_1b_2 + c_1c_2),\ a_1b_2 + b_1a_2,\ a_1c_2 + c_1a_2,\ b_1c_2 - c_1b_2)\end{align}\) 가 바로 그것.
이 사원수의 각 자리를 제곱해서 더하면 \((a_1^2 + b_1^2 + c_1^2)(a_2^2 + b_2^2 + c_2^2)\) 가 됨
이러한 오일러의 네제곱수 항등식 에서 4사원수로 나아가게 됨.

Quaternion 의 정의

(주의) 쿼터니온은 벡터와 달리 스칼라와 비슷하게 표기를 하므로 맥락에 맞게 구별해야함

다음과 같이 정의됨

\[\begin{multline} q = w + xi + yj + zk = (w, \vec{v}) \\ \\ \shoveleft i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \\ \\ \shoveleft q_1 \times q_2 = (w_1, \vec{v_1}) \times (w_2, \vec{v_2}) \\ \shoveleft = \left(\begin{array}{cc} w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2 \\ x_1w_2 + w_1x_2 - z_1y_2 + y_1z_2 \\ y_1w_2 + z_1x_2 + w_1y_2 - x_1z_2 \\ z_1w_2 - y_1x_2 + x_1y_2 + w_1z_2 \\ \end{array}\right) \\ \shoveleft = (w_1w_2 - \vec{v_1} \cdot \vec{v_2}, \ w_1\vec{v_2} + w_2\vec{v_1} + \vec{v_1} \times \vec{ v_2} ) \\ \\ \shoveleft \hat{q} = (w, -x, -y, -z) \\ \\ \shoveleft q^{-1} = \frac{w - xi -yj -zk}{w^2 + x^2 + y^2 + z^2} = \frac{\hat{q}}{\|q\|} \quad q \times q^{-1} = 1 \end{multline}\]
\(w\) 는 Scalar Part, \(\vec{v}\) 는 Vector Part 라고 부름
\(ij, ik \dots\) 등은 위 항등식을 통해 간단히 증명해서 쓰면 됨
Cross 계산 때문에 결합법칙은 성립하고 교환법칙은 성립하지 않음
곱에서 사용되는 dot 과 cross 는 실수식 계산한 것을 정리한 것으로 vector 에서 쓰이는 계산의 원조임
- Scalar Part 가 0 인 두 Quaternion 의 곱의 조합으로 Dot, Cross 표현가능
- 관련 영상

이는 4x4 의 실수행렬로 나타낼 수 있음

복소수에서 한것처럼 Quaterion 의 곱을 정리한 식에서 행렬로 빼내면 됨.
정리하면

\(\begin{multline} q = w + xi + yj + zk = \left[\begin{array}{cc} +w & -x & -y & -z \\ +x & +w & -z & +y \\ +y & +z & +w & -x \\ +z & -y & +x & +w \\ \end{array}\right] \\ \\ \shoveleft \end{multline}\)

Quaternion and Euler’s Formula

Taylor Series 를 사용하는 방법

참고

Fully Imaginary Quaternion 은 Scalar Part 가 0 인 Quaternion 임

이 경우 교환법칙이 성립함

\(\begin{multline} q_1 = (0, \vec{v_1}), \quad q_2 = (0,\vec{v_2}) \\ \shoveleft q_1 \times q_2 = - \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = q_2 \times q_1 \\ \\ \end{multline}\)
제곱에 대해서 재밌는 성질이 생김.

\(\begin{multline} q^2 = -\|\vec{v}\|^2 \\ \shoveleft q^{2n} = (- \|\vec{v}\|^2)^n \quad q^{2n-1} = (-\|\vec{v}\|^{n-1})^2 q \\ \\ \shoveleft \end{multline}\)

제곱에 대한 성질을 생각하며 \(e^x\) 의 Maclaurin Series 에 대입을 하면

\(q = (0, \vec{v}) = (0, xi, yj, zk)\) 에 대하여
\[\begin{multline} e^q = 1 + q + \frac{q^2}{2!} + \frac{q^3}{3!} + \frac{q^4}{4!} \dots \\ \shoveleft 1 - \frac{\|v\|^2}{2!} + \frac{\|v\|^4}{4!} - \frac{\|v\|^6}{6!} \dots = \cos(\|v\|) \\ \shoveleft \frac{1}{\|v\|} \left(\|v\| - \frac{\|v\|^3}{3!} + \frac{\|v\|^5}{5!} - \frac{\|v\|^7}{7!} \right)v \dots = \sin(\|v\|) \frac{v}{\|v\|} \\ \shoveleft e^q = \cos(\|v\|) + \frac{\sin(\|v\|)}{\|v\|}(xi + yj + zk) \\ \shoveleft \end{multline}\]

Euler’s Formula 를 사용하는 방법

참고

다음과 같이 정의했을 때

\[\begin{multline} r = \pm \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} , \ \ (\frac{xi + yj + zk}{r})^2 = -1 \\ \shoveleft q = w + xi+yj+zk = w + r \frac{xi + yj + zk}{r} \end{multline}\]
\[\begin{multline} e^q = e^{w + r\sqrt{-1}} = e^we^{r\sqrt{-1}} = e^w(cos(r) + \sqrt{-1} sin(r) ) \\ \shoveleft = e^w\left(\cos{r} + \frac{\sin{r}}{r}(xi + yj + zk) \right) \end{multline}\]

Versor Form

Quaternion \(q = (0, x, y, z) = (0, \vec{v})\) 이 있어서 \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) 를 만족할 때

\[\begin{multline} e^{\theta q} = e^{\theta x i + \theta y j + \theta z k } \\ \shoveleft = \cos{\theta} + \frac{\sin{\theta} }{\theta}(\theta x i + \theta y j + \theta z k ) \quad \dots (\theta \neq 0) \\ \shoveleft = \cos{\theta} + \sin\theta (xi + yi + zi) = \cos{\theta} + \sin\theta \ \vec{v} \end{multline}\]
예외인 0에서도 계산해보면 연속함수임을 알 수 있음
위를 통해 \(i\) 에서의 Euler Formula 가 Quaternion 으로 확장됨을 확인할 수 있음.

Quaternion and Rotation

참고

\(v = (0, \vec{v})\) 과 크기가 1인 \(n = (0, \vec{n})\) 가 있어 \(\vec{n}\) 을 축으로 \(\theta\) 만큼 \(\vec{v}\) 를 회전시킨다고 하자.

이때 축은 원점을 지나므로 \(\vec{v}\) 는 위치/방향 벡터든 상관없음

축에 대한 회전은 축이 이루는 평면 상에서 회전하므로 \(\vec{n}\) 를 쪼갬

\[\begin{multline} \vec{v} = \vec{v_{\perp}} + \vec{v_{\parallel}} \\ \shoveleft \vec{v_{\parallel}} = ( \vec{n} \cdot \vec{v} ) \vec{v} ,\quad \vec{v_{\perp}} = \vec{v} - \vec{v_{\parallel}} \end{multline}\]

추가로 네가지 성질이 필요함

첫째는 Scalar Part 가 0 이라 벡터 외적을 쿼터니온 곱으로 바꾼 \(\vec{n} \times \vec{v_{\perp} } = nv_{\perp}\)
둘째는 위의 Euler’s formular
셋째는 \(e^{\theta n}v_{\parallel} = v_{\parallel}e^{\theta n}\)
- \[\begin{multline} ( \cos{\theta}, \sin\theta\vec{n})(0, \vec{v_{\parallel}} ) = (0, \vec{v_{\parallel}} )( \cos{\theta}, \sin{\theta}\vec{n}) \\ \shoveleft (0, \cos{\theta} \vec{v_{\parallel}} + \sin\theta\vec{n} \times \vec{v_{\parallel}} ) = (0, \cos{\theta} \vec{v_{\parallel}} + \vec{v_{\parallel}} \times \sin{\theta}\vec{n} ) = (0, \cos{\theta} \vec{v_{\parallel}} ) \end{multline}\]
넷째는 \(e^{\theta \vec{n}}v_{\perp} = v_{\perp}e^{-\theta \vec{n}}\)
- \[\begin{multline} ( \cos{\theta}, \sin\theta\vec{n})(0, \vec{v_{\perp}} ) = (0, \vec{v_{\perp}} )( \cos{(-\theta)}, \sin{(-\theta)}\vec{n}) \\ \shoveleft (0, \cos{\theta} \vec{v_{\perp}} + \sin\theta\vec{n} \times \vec{v_{\perp}} ) = (0, \cos{(-\theta)} \vec{v_{\perp}} + \vec{v_{\perp}} \times \sin{(-\theta)}\vec{n} ) \\ \shoveleft (0, \cos{\theta} \vec{v_{\perp}} + \sin\theta\vec{n} \times \vec{v_{\perp}} ) = (0, \cos{\theta} \vec{v_{\perp}} - \vec{v_{\perp}} \times \sin{\theta}\vec{n} ) \\ \shoveleft (0, \cos{\theta} \vec{v_{\perp}} + \sin\theta\vec{n} \times \vec{v_{\perp}} ) = (0, \cos{\theta} \vec{v_{\perp}} + \sin\theta\vec{n} \times \vec{v_{\perp}} ) \\ \shoveleft \end{multline}\]

우리가 할 \(\vec{n}\) 을 축으로한 임의의 \(\vec{v}\) 의 회전은

\(\vec{n}\) 을 노말로 갖고 원점을 지나는 평면 상 에서 회전 후
회전에 영향없는 \(\vec{v_{\parallel}}\) 를 더해 완성됨

\[\begin{multline} \vec{v}' = \vec{v_{\parallel}} + \cos{\theta}\ \vec{v_{\perp}} + \sin{\theta}( \vec{n} \times \vec{v_{\perp} }) \\ \shoveleft = \vec{v_{\parallel}} + \cos{\theta}\ \vec{v_{\perp}} + \sin{\theta}(n v_{\perp}) \\ \shoveleft = \vec{v_{\parallel}} + (\cos{\theta} + \sin{\theta}n )v_{\perp} \\ \shoveleft = v_{\parallel} + e^{\theta n} v_{\perp} \\ \shoveleft \end{multline}\]
\[\begin{multline} \vec{v}' = v_{\parallel} + e^{\theta n} v_{\perp} \\ \shoveleft = e^{\frac{\theta}{2} n} e^{-\frac{\theta}{2} n} v_{\parallel} + e^{\frac{\theta}{2} n} e^{\frac{\theta}{2} n} v_{\perp} \\ \shoveleft = e^{\frac{\theta}{2} n} (v_{\parallel}) e^{-\frac{\theta}{2} n} + e^{\frac{\theta}{2} n} (v_{\perp}) e^{-\frac{\theta}{2} n} \\ \shoveleft = e^{\frac{\theta}{2} n}( v_{\perp} + v_{\parallel} ) e^{-\frac{\theta}{2} n} \\ \shoveleft = e^{\frac{\theta}{2} n} \ v \ e^{-\frac{\theta}{2} n} \\ \shoveleft = qv\hat{q} \end{multline}\]

이렇게 해서 우리가 알고있는 쿼터니온 회전이 나오게 됨.

정리하면

Quaternion \(q = e^{\theta n} = (\cos\theta, \sin\theta \ \vec{n})\) 에서 곱셈의 의미는
- \(\vec{n}\) 을 노말로 갖고 원점을 지나는 평면 상 - 의 점을 \(\theta\) 만큼 회전하는 것임
- 즉 \(v_{\parallel} = 0\) 일 때의 회전을 의미함
- 혹은 \(v_{\parallel}\) 만큼의 Scalar 와 그게 반영안되고 회전된 Vector 가 남음
임의의 점에 대해서 회전한다면
- \(qv\hat{q}\) 임
- \(\vec{n_\parallel}\) 은 앞에서 회전되고 뒤에서 원래대로 돌아가고
- \(\vec{n_\perp}\) 은 앞에서 회전되고 뒤에서도 회전되는데
- 두 성분이 합해진 상태에서 한번에 처리 되는 것.
덧붙여서
- 쿼터니언 간 결합법칙이 성립하므로, 쿼터니언 간의 곱은 회전의 연쇄로 해석할 수 있음.

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계산성능

Wiki 를 보면 회전행렬간의 체이닝은 행렬보다 효율적이지만, 벡터 회전은 행렬이 더 효율적이다.

Mona04