Ch2. Signals And Linear Systems

Signal

any observable change in a quantity over space or time

주로 시간에 대한 함수를 많이 접하게 된다.

3대 요소

가장 많이 쓰이는 Sinusodial Signal 인 시간 \(t\) 에 대한 함수 \(x(t) = A \cos{(2 \pi f_0 \cdot t + \theta )}\) 를 통해 Signal 의 3대 요소를 살펴보자.

• amplitude. => \(A\) 는
• frequency => \(f_0\) 은
• phase(위상) => \(\theta\)

위 세가지 요소 중 하나 만을 특정 정보에 맞게 수정하고 나머지를 고정시키는 것을 Modulation 이라고 한다. 어떤 요소를 사용하느냐에 따라 AM, FM, PM 이라고 불린다. Modulation 을 수행/역수행 장치를 각각 Modulator, Demodulator 이라고 하며 모두 수행할 수 있는 장치가 우리가 많이 사용하는 Modem 이다.

참고로 위 식에서 Period 는 \(1/f_0\) 가 된다.

기본 연산

Time Shifting, Time Reversal, Time Scaling 으로 기본적인 함수조작이다.

구분 기준

자주 사용되는 구분 기준이 있다.

1. Continuous / Discrete
2. Real / Complex
3. Deterministic / Random
4. Periodic / Non-Periodic
   • \(x(t) = x(t + nT_0),\quad n \in \mathbb{N}\) 꼴이면 \(nT_0\) 를 Period 로 하는 Signal 이다.
   • 이중에 가장 작은 Period 인 \(n\) 은 Fundamental Period 라고 한다.
   • Fundamental Frequncy = 1 / Fundamental Period 이다.
5. Causal / Anti-Causal
   • \(x(t) = 0, \text{ if } t < 0\) 이면 Causal 이라고 한다
6. Even / Odd
   • \(-x_e(t) = x_e(t)\), \(x_o(-t) = -x_o(t)\)
   • \[\begin{multline} x_e(t) = \cfrac{x(t) + x(-t)}{2} \\ \shoveleft x_o(t) = \cfrac{x(t) - x(-t)}{2} \end{multline}\]
   • 모든 신호는 Even / Odd Signal 들로 구성할 수 있다. 위 두식을 더하면 바로 증명이 끝난다.

Hermitious Symmetric 는 실수부가 Even, 가수부가 Odd 인 Signal 종류라고 하는데, 나중에 쓸 때 다시 살펴보자.

주의해야할 특징이 몇가지가 있다.

• Discrete Sinusodial Signal 이 Periodic 하기 위해선 Frequency 가 정수여야 한다.

Energy and Power

\[Energy = \int_\infty^\infty{\vert x(t) \vert ^2}{dt} = \lim_{T \to \infty} \int_{-T/2}^{T/2}{\vert x(t) \vert ^2}{dt}\] \[Power = \lim_{T \to \infty} \cfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{\vert x(t) \vert ^2}{dt}\]

통신이론의 목표 중 하나는 Power 를 최저한으로 사용하면서 최대한의 통신을 하려고 하는 것으로, 위 식이 많이 사용된다.

위 수식의 추가 정보를 서술하자면

• 절댓값은 허수 때문에 붙은 것으로 Real Singal 에선 무시해도 된다.
• Periodic Signal 인 경우 주기단위로 먼저 적분 후 주기 단위로 극한을 보내는게 편하고, Power Signal 인 경우(즉 Power 가 무한이 아니면) 수식을 전개하면 극한이 사라지고 Period 에 대한 평균 Power 에 대한 식이 된다.

중요한 Signals

sin/cos 로 이루어진 신호인 Sinusoidal Signal

Complex Exponential Signal. \(x(t) = Ae^{2 \pi f_0 \cdot t + \theta }\)

Unit Step Signal. \(\begin{equation} x(t) = \begin{cases} a, \text{ if } t > 0 \\ 0, \text{ else } \end{cases} \end{equation}\)

Rectangual Signal. Unit Step Signal 에서 일정 범위만 값이 있고 나머진 0이라서 사각형으로 보이는 신호.

Triangle Signal. Convolution 에 많이 쓰임.

Sinc Signal. \(x(t) = \cfrac{\sin{\pi t}}{\pi t}\).

• \(x(0) = 1\) 이고 사인함수의 주기마다 0을 반복하면서 작아지는 함수.

Signum Funciton. \(\begin{equation} x(t) = \begin{cases} e^{-1\cfrac{1}{n}}, \text{ if } t > 0 \\ -e^{1\cfrac{1}{n}}, \text{ if } t < 0 \\ 0, \text{ else } \end{cases} \end{equation}\)

Impulse Singal

이 함수는 정의되지 않고 그 특성에 의해 서술되는 함수임.

System

Signal 들의 집합을 인풋으로 갖고 Signal 을 아웃풋으로 갖는 함수